Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，點O在AB上，BD⊥AB，點B是垂足，OD∥AC，連接CD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為10cm，∠A=60°，求CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證CD是⊙O的切線，只要連接OC，再證OC⊥CD即可．
（2）根據切線的性質可得CD=BD，根據勾股定理可得CD的長．
解答：證明：（1）連接CO，
∵OD∥AC，
∴∠COD=∠ACO，∠CAO=∠DOB．
∵∠ACO=∠CAO，
∴∠COD=∠DOB．
又OD=OD，OC=OB．
∴△COD≌△BOD．
∴∠OCD=∠OBD=90°．
∴OC⊥CD，即CD是⊙O的切線．

（2）由（1）可得，△COD≌△BOD，得CD=BD，
∵BD⊥AB，
∴∠OBD=90°．
∵OD∥AC，
∴∠DOB=∠A=60°．
∴∠ODB=30°．
∴CD=BD=10．
點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了切線的性質及勾股定理．