Question

已知：關于x的一元二次方程ax²+2（a-3）x+a+3=0有兩個實數根，且a為非負整數．
（1）求a的值；
（2）若拋物線y=ax²+2（a-3）x+a+3向下平移m（m＞0）個單位后過點（1，n）和點（2，2n+1），求m的值；
（3）若拋物線y=ax²+2（a-3）x+a+3+k上存在兩個不同的點P、Q關于原點對稱，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）依題意，得△=[2（a-3）]²-4a（a+3）=-36a+36≥0，
解得a≤1，
又a≠0且a為非負整數，
∴a=1，
∴y=x²-4x+4．
（2）解法一：
拋物線y=x²-4x+4過點（1，1），（2，0），
向下平移m（m＞0）個單位后得到點（1，n）和點（2，2n+1）
∴，解得m=3．
解法二：
拋物線y=x²-4x+4向下平移m（m＞0）個單位后得：y=x²-4x+4-m，
將點（1，n）和點（2，2n+1）代入解析式得，
解得m=3．
（3）設P（x₀，y₀），則Q（-x₀，-y₀），
∵P、Q在拋物線y=x²-4x+4+k上，將P、Q兩點坐標分別代入得：，
將兩方程相加得：2x₀²+8+2k=0，
即x₀²+4+k=0，
∵△′=-4（4+k）≥0，
∴k≤-4，
當k=-4時，P、Q兩點重合，不合題意舍去．
∴k＜-4．
分析：（1）根據根的判別式△＞0，根據一元二次方程成立的條件，知a≠0，求解即可；
（2）根據坐標平移的性質得到新點坐標，結合已知條件列方程組解答；
（3）根據中心對稱的定義，設出兩個中心對稱點，代入解析式列出方程組，再結合根的判別式解答．
點評：此題考查了拋物線與x軸的交點坐標和根的判別式，綜合性很強，同時要利用方程組進行解答．解答時要體會方程組的解即為交點坐標．