Question

如圖，AB、CD為⊙O的四點，

AB

+

CD

=

AC

+

BD

，AB=8，DC=4，圖中陰影部分的面積和為

 

．

Answer 1

分析：此題若直接求陰影部分的面積，缺少必要的條件如：圓的半徑、兩個扇形圓心角的度數等，如果將兩個圖形進行適當變形，解題方法就會簡便許多．令A、C重合，根據已知的弧的等量關系，可判定此時BD為⊙O的直徑，那么陰影部分的面積即為半圓的面積和Rt△BDC的面積差，由此得解．

解答：解：如圖，令A、C重合；
∵

AB

+

CD

=

AC

+

BD

，
∴BD是⊙O的直徑；
在Rt△ABD中，AB=8，AD=4，由勾股定理得：
BD²=AB²+AD²=80，
故S_陰影=S_半圓-S_△ABD=

1

2

×π×（

1

2

BD）²-

1

2

×8×4=10π-16．

點評：此題若直接求解，難度會很大，要擅于利用題目所給的條件，能夠對圖形進行合理的變形或整理是解決此題的關鍵．