Question

如圖，BD為⊙O的直徑，點A是弧BC的中點，AD交BC于E點，AE=2，ED=4．
（1）求證：△ABE∽△ABD；
（2）求tan∠ADB的值；
（3）延長BC至F，連接FD，使△BDF的面積等于，求∠EDF的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A是弧BC的中點，故∠ADB=∠ABC，再加上公共角∠A，即可證得所求的三角形相似．
（2）由（1）的相似三角形所得比例線段，可求得AB的長，進而可在Rt△ABD中，求得∠ABD的正切值．
（3）連接CD，由（2）知∠ADB=30°，那么∠CDE=30°，∠CED=60°，由DE的長即可得到CD的值，進而可由△BDF的面積求得BF的長，進而可求得EF=ED=4，由此可證得△EDF是正三角形，即可得∠EDF的度數．
解答：（1）證明：∵點A是弧BC的中點，
∴∠ABC=∠ADB，
又∵∠BAE=∠BAE，
∴△ABE∽△ABD．（3分）

（2）解：∵△ABE∽△ADB，
∴AB²=2×6=12，
∴AB=2，
在Rt△ADB中，tan∠ADB=．（3分）

（3）解：連接CD，則∠BCD=90°；
由（2）得：∠ADB=∠EDC=30°，∠CED=60°；
已知DE=4，則CD=2；
∵S_△BDF=×BF×2=8，即BF=8；
易得∠EBD=∠EDB=30°，即BE=DE=4，
∴EF=DE=4，又∠CED=60°，
∴△DEF是正三角形，
故∠EDF=60°．（2分）
點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質、圓周角定理、圓心角、弧的關系、等邊三角形的判定和性質等知識，難度適中．