Question

探索、研究：下圖是按照一定的規律畫出的一列“樹型”圖，下表的n表示“樹型”圖的序號，a_n表示第n個“樹型”圖中“樹枝”的個數。

圖：

                                         

n	1	2	3	4	…
an	1	3	7	15	…

表：

⑴ 根據“圖”、“表”可以歸納出a_n關于n的關系式為____________________。

若直線經過點、，求直線對應的函數關系式，并說明對任意的正整數n，點都在直線上。

⑵ 設直線：與x軸相交于點A，與直線相交于點M，雙曲線經過點M，且與直線相交于另一點N。

① 求點N的坐標，并在如圖所示的直角坐標系中畫出雙曲線及直線、。

② 設H為雙曲線在點M、N之間的部分（不包括點M、N），P為H上一個動點，點P的橫坐標為，直線MP與x軸相交于點Q，當為何值時，的面積等于的面積的2倍？又是否存在的值，使得的面積等于1？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

③ 在y軸上是否存在點G，使得的周長最小？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解:（1） 

    過點、的直線為 ①

    將點代入①，

    左式=，右式=，左式=右式

    ∴對任意的正整數n，點都在直線上。

（2）①由題意，點A的坐標為，點M的坐標為

由雙曲線過點M，得，雙曲線為，

由此得點N的坐標為

② 由題意，點P的坐標為

當，即時，P為MQ的中點，

∴，由此得  t=2

∴當t=2時，的面積等于的面積的2倍

過M作ME⊥x軸于E，則

由

用配方法或根的判別式法可以確定此方程沒有實數根。

∴不存在這樣的t值，使的面積為1

③ 由題意，點M關于y軸的對稱點M’的坐標為

設在y軸上存在點G，使得的周長最小

∵MN為定值

∴要使的周長最小，只要GM+GN的值最小，由平面幾何知識可知，得G為M’N與y軸的交點，

設過M’N的直線所對應的函數關系式為，則

，得，

∴ 由此可求得G的坐標為