Question

探索、研究：下圖是按照一定的規(guī)律畫出的一列“樹型”圖，下表的n表示“樹型”圖的序號(hào)，a_n表示第n個(gè)“樹型”圖中“樹枝”的個(gè)數(shù)．
圖：
表：

n	1	2	3	4	…
an	1	3	7	15	…

（1）根據(jù)“圖”、“表”可以歸納出a_n關(guān)于n的關(guān)系式為

 

．
若直線l₁經(jīng)過點(diǎn)（a₁，a₂）、（a₂，a₃），求直線l₁對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并說明對(duì)任意的正整數(shù)n，點(diǎn)（a_n，a_n+1）都在直線l₁上．
（2）設(shè)直線l₂：y=-x+4與x軸相交于點(diǎn)A，與直線l₁相交于點(diǎn)M，雙曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過點(diǎn)M，且與直線l₂相交于另一點(diǎn)N．
①求點(diǎn)N的坐標(biāo)，并在如圖所示的直角坐標(biāo)系中畫出雙曲線及直線l₁、l₂．
②設(shè)H為雙曲線在點(diǎn)M、N之間的部分（不包括點(diǎn)M、N），P為H上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，直線MP與x軸相交于點(diǎn)Q，當(dāng)t為何值時(shí)，△MQA的面積等于△PMA的面積的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面積等于1？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
③在y軸上是否存在點(diǎn)G，使得△GMN的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求直線l₁為y=2x+1，把點(diǎn)（2ⁿ-1，2ⁿ⁺¹-1）代入，左式=2ⁿ⁺¹-1，右式=2（2ⁿ-1）+1=2ⁿ⁺¹-1，左式=右式，所以對(duì)任意的正整數(shù)n，點(diǎn)（a_n，a_n+1）都在直線l₁上．
（2）①由題意，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3）；求得雙曲線為y=

3

x

（x＞0），由此得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，1）．
②由題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，

3

t

)當(dāng)S_△MQA=2S_△MPA，即S_△MPA=S_△PQA時(shí)，P為MQ的中點(diǎn)，可得t=2時(shí)，△MQA的面積等于△PMA的面積的2倍，過M作ME⊥x軸于E，則S_△PMA=S_△MEA-S_△MPE-S_△PEA=6-

3

2

t-

9

2t

，得3t²-10t+9=0．通過此方程的解的問題可知此方程沒有實(shí)數(shù)根，即不存在這樣的t值，使△PMA的面積為1．
③設(shè)在y軸上存在點(diǎn)G，使得△GMN的周長(zhǎng)最小，MN為定值，要使△GMN的周長(zhǎng)最小，只要GM+GN的值最小，由平面幾何知識(shí)可知，G為M’N與y軸的交點(diǎn)，設(shè)過M’N的直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=ax+b，得y=-

1

2

x+

5

2

，由此可求得G的坐標(biāo)為(0，

5

2

)．

解答：解：（1）由a_n=2ⁿ-1可得a₁=1，a₂=3，a₃=7，
又直線l₁經(jīng)過點(diǎn)（a₁，a₂）、（a₂，a₃），設(shè)直線l₁的解析式為y=kx+b，
把（1，3），（3，7）代入得k=2，b=1
所以直線l₁為y=2x+1，
把點(diǎn)（2ⁿ-1，2ⁿ⁺¹-1）代入y=2x+1，左式=2ⁿ⁺¹-1，右式=2（2ⁿ-1）+1=2ⁿ⁺¹-1，左式=右式，所以對(duì)任意的正整數(shù)n，點(diǎn)（a_n，a_n+1）都在直線l₁上．

（2）①y=-x+4與x軸相交于點(diǎn)A，所以y=0，x=4，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），
因?yàn)辄c(diǎn)M是L₂與L₁的交點(diǎn)，聯(lián)立

y=-x+4 y=2x+1

，解得x=1，y=3，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3）；
又因?yàn)殡p曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過點(diǎn)M，所以k=3
所以雙曲線為y=

3

x

（x＞0），
因?yàn)辄c(diǎn)N是雙曲線與直線是L₂的交點(diǎn)，聯(lián)立

y=-x+4 y= 3 x

，解得x=3，y=1
由此得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，1）．
②由題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，

3

t

)
當(dāng)S_△MQA=2S_△MPA，即S_△MPA=S_△PQA時(shí)，P為MQ的中點(diǎn)，
可得t=2時(shí)，△MQA的面積等于△PMA的面積的2倍，過M作ME⊥x軸于E，
則S_△PMA=S_△MEA-S_△MPE-S_△PEA=6-

3

2

t-

9

2t

，得3t²-10t+9=0，
用配方法或根的判別式法可以確定此方程沒有實(shí)數(shù)根．
∴不存在這樣的t值，使△PMA的面積為1．
③由題意，點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M’的坐標(biāo)為（-1，3），
設(shè)在y軸上存在點(diǎn)G，使得△GMN的周長(zhǎng)最小，
∵M(jìn)N為定值，
∴要使△GMN的周長(zhǎng)最小，只要GM+GN的值最小，由平面幾何知識(shí)可知，G為M’N與y軸的交點(diǎn)，
設(shè)過M’N的直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=ax+b，則

3a+b=1 -a+b=3

，
得

a=- 1 2 b= 5 2

，
∴y=-

1

2

x+

5

2

由此可求得G的坐標(biāo)為(0，

5

2

)．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．