Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3．過原點O作∠AOC的平分線交AB于點D，連接DC，過點D作DE⊥DC，交OA于點E．
（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；
（2）將∠EDC繞點D按順時針方向旋轉后，角的一邊與y軸的正半軸交于點F，另一邊與
線段OC交于點G．如果EF=2OG，求點Ｇ的坐標．
（3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與
AB的交點P與點C、G構成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存
在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵OD平分∠AOC, ∠AOC=90°
∴∠AOD=∠DOC=45°
∵在矩形ABCD中，
∠BAO=∠B=∠BOC=90°,OA=BC=2,AB=OC=3
∴△AOD是等腰Rt△   ………………………………1分
∵∠AOE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90°
∴∠AOE=∠BCD
∴△AED≌△BDC
∴AE=DB=1
∴D(2,2),E(0,1),C(3,0)   …………………………2分
則過D、E、C三點的拋物線解析式為： ……………3分
（2）DH⊥OC于點H,

∴∠DHO=90°
∵矩形 ABCD中, ∠BAO=∠AOC=90°
∴四邊形AOHD是矩形
∴∠ADH=90°.
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
∵AD=OA=2，
∴四邊形AOHD是正方形.
∴△FAD≌△GHD
∴FA=GH         ………………………………4分
∴設點 G（x，0），
∴OG=x，GH=2-x
∵EF=2OG=2x，AE=1，
∴2-x=2x-1，
∴x=1.
∴G(1,0)          ……………………………………………5分
(3)由題意可知點P若存在，則必在AB上，假設存在點P使△PCG是等腰三角形
1）當點P為頂點，既 CP=GP時，
易求得P₁（2,2），既為點D時，
此時點Q、與點P₁、點D重合，
∴點Q₁(2,2)                   ……………………………………………6分
2)當點C為頂點，既 CP=CG=2時, 易求得P₂(3,2)          

∴直線GP₂的解析式：
求交點Q: 
可求的交點（）和（-1，-2）
∵點Q在第一象限
∴Q₂（）            ……………………………………………7分
3)當點G為頂點，既 GP=CG=2時, 易求得P₃(1,2)
∴直線GP₃的解析式：
求交點Q:
可求的交點（）
∴Q₃（）          ……………………………………………8分
所以，所求Q點的坐標為Q₁(2,2)、Q₂（）、Q₃（）．解析:
略