Question

【題目】已知拋物線頂點在軸負半軸上，與軸交于點，，為等腰直角三角形.

（1）求拋物線的解析式

（2）若點在拋物線上，若為直角三角形，求點的坐標

（3）已知直線過點，交拋物線于點、，過作軸，交拋物線于點，求證：直線經過一個定點，并求定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）（-1,4）

【解析】

（1）先求出頂點坐標與y軸交點坐標，根據頂點式求二次函數解析式；

（2）根據直角三角形的判定定理找出△ABC為直角三角形，分三種情況：當A為直角頂點時，AC⊥AB；當B為直角頂點時，BC⊥AB；當C為直角頂點，分別確定點C的坐標；

（3）根據二次函數與方程的關系求解．

（1）∵OB=1，點B在y軸的正半軸上，

∴B（0，1），

∵△OAB為等腰直角三角形，

∴OA=OB=1，

∵頂點A在x軸負半軸上，

∴頂點A（-1，0），

∴設y=a(x+1)2,

把B（0，1）代入得

1=a×(0+1)2,

∴a=1,

∴,

（2）當A為直角頂點時，AC⊥AB，

設直線AB解析式為y=mx+n，

∵B（0，1），A（-1，0），

∴,

∴,

∴直線AB解析式為y=x+1，

∵AC⊥AB，

∴直線AC解析式為y=-x-1，

聯立得,

解得：，,

∴C（-2，1）.

當B為直角頂點時，BC⊥AB，

∵直線AB解析式為y=x+1，

∴直線BC解析式為y=-x+1，

同理可得C（-3，4），

當C為直角頂點不存在 .

綜上所述點C坐標為（-2，1）或（-3，4），

（3）設DE的解析式為，

聯立，

∴，

得：，

∵D，E關于對稱軸對稱，

所以，

設EF的解析式為聯立，

，

得，

，

聯立①②③④得n=m+4，

所以，過定點（-1，4），

即直線EF經過一個定點，定點的坐標為（-1，4）．