Question

如圖，若等邊△A₁B₁C₁內(nèi)接于等邊△ABC的內(nèi)切圓，則的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：由于△ABC、△A₁B₁C₁都是等邊三角形，因此它們的外心與內(nèi)心重合；可過內(nèi)切圓的圓心O分別作AB、A₁B₁的垂線，連接OA、OA₁；在構(gòu)建的含特殊角的直角三角形中，用⊙O的半徑分別表示出AB、A₁B₁的長，進(jìn)而可求出它們的比值．
解答：解：∵△A₁B₁C₁和△ABC都是等邊三角形，
∴它們的內(nèi)心與外心重合．
如圖，過點O作AB的垂線，交A₁B₁于E，連接OA、OA₁．
設(shè)圓O的半徑為R．
Rt△OAD中，∵∠OAD=30°，OD=R，
∴AD=R，即AB=2R．
Rt△OA₁E中，∵∠OA₁E=30°，OA₁=R，
∴A₁E=R，即A₁B₁=R．
∴==．
故答案為．
點評：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的性質(zhì)，等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心、旁心重合，稱為等邊三角形的中心（五心合一）．此題用等邊△ABC的內(nèi)切圓的半徑分別表示AB、A₁B₁的長是解題的關(guān)鍵．