Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M經(jīng)過原點O，且與x軸、y軸分別相交于A（-6，0），B（0，-8）兩點．
（1）請求出直線AB的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經(jīng)過點M，頂點C在⊙M上，開口向下，且經(jīng)過點B，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）設(shè)（2）中的拋物線交x軸于D，E兩點，在拋物線上是否存在點P，使得S_△PDE=

1

15

S_△ABC？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“兩點法”可求直線AB解析式；
（2）求直徑AB，得半徑MC的值，由中位線定理得MN=

1

2

OB，CN=MC-MN，又CM垂直平分線段AO，可得C點橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)，設(shè)拋物線頂點式，把B點坐標(biāo)代入即可求拋物線解析式；
（3）由（2）可求線段DE的長，△ABC的面積可求，這樣可求△PDE中DE邊上的高，可表示P點的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式求P點橫坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），
∵直線AB經(jīng)過A（-6，0），B（0，-8），
∴由此可得

-6k+b=0 b=-8

解得

k=- 4 3 b=-8

∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=-

4

3

x-8．

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=

AO2+OB2

=

62+82

=10，
∵⊙M經(jīng)過O，A，B三點，且∠AOB=90°，
∴AB為⊙M的直徑，
∴半徑MA=5，
設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點N，
∵M(jìn)N⊥x，
∴由垂徑定理，得AN=ON=

1

2

OA=3．
在Rt△AMN中，MN=

MA2-AN2

=

52-32

=4，
∴CN=MC-MN=5-4=1，
∴頂點C的坐標(biāo)為（-3，1），
設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x+3）²+1，
∵它經(jīng)過B（0，-8），
∴把x=0，y=-8代入上式，
得-8=a（0+3）²+1，解得a=-1，
∴拋物線的表達(dá)式為y=-（x+3）²+1=-x²-6x-8．

（3）如圖，連接AC，BC，
S_△ABC=S_△AMC+S_△BMC=

1

2

•MC•AN+

1

2

MC•ON=

1

2

×5×3+

1

2

×5×3=15．
在拋物線y=-x²-6x-8中，設(shè)y=0，則-x²-6x-8=0，
解得x₁=-2，x₂=-4．
∴D，E的坐標(biāo)分別是（-4，0），（-2，0），∴DE=2；
設(shè)在拋物線上存在點P（x，y），使得S_△PDE=

1

15

S_△ABC=

1

15

×15=1，
則S_△PDE=

1

2

•DE•|y|=

1

2

×2×|y|=1，∴y=±1，
當(dāng)y=1時，-x²-6x-8=1，解得x₁=x₂=-3，∴P₁（-3，1）；
當(dāng)y=-1時，-x²-6x-8=-1，解得x₁=-3+

2

，x₂=-3-

2

，
∴P₂（-3+

2

，-1），P₃（-3-

2

，-1）．
綜上所述，這樣的P點存在，
且有三個，P₁（-3，1），P₂（-3+

2

，-1），P₃（-3-

2

，-1）．

點評：本題主要考查方程、函數(shù)、三角形、圓等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識、分析問題、解決問題的能力，考查待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合、方程與函數(shù)的思想方法．