Question

我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準等腰梯形”．如圖1，四邊形ABCD即為“準等腰梯形”．其中∠B=∠C．

（1）在圖1所示的“準等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個頂點引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形（畫出一種示意圖即可）；
（2）如圖2，在“準等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E為邊BC上一點，若AB∥DE，AE∥DC，求證：=；
（3）在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點E．若EB=EC，請問當點E在四邊形ABCD內部時（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準等腰梯形”，為什么？若點E不在四邊形ABCD內部時，情況又將如何？寫出你的結論．（不必說明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據條件∠B=∠C和梯形的定義就可以畫出圖形；
（2）根據平行線的性質就可以得出∠DEC=∠B，∠AEC=∠C，就可以得出△ABE∽△DEC，由相似時間性的性質就可以求出結論；（3）根據角平分線的性質可以得出△EFB≌△EHC，就可以得出∠3=∠4，再有條件就可以得出∠ABC=∠DCB，從而得出結論，當點E不在四邊形內部時分兩種情況討論就可以求出結論．
（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，由角平分線的性質就可以得出EF=EH，通過證明三角形全等就可以得出∠3=∠4，由BE=CE就可以得出∠1=∠2，從而可以得出結論．
解答：解：（1）如圖1，過點D作DE∥BC交PB于點E，則四邊形ABCD分割成一個等腰梯形BCDE和一個三角形ADE；

（2）∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEC，
∵AE∥DC，
∴∠AEB=∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠AEB，
∴AB=AE．
∵在△ABE和△DEC中，
，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
∴；

（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，
∴∠BFE=∠CHE=90°．
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴EF=EG=EH，
在Rt△EFB和Rt△EHC中
，
∴Rt△EFB≌Rt△EHC（HL），
∴∠3=∠4．
∵BE=CE，
∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠4
即∠ABC=∠DCB，
∵ABCD為AD截某三角形所得，且AD不平行BC，
∴ABCD是“準等腰梯形”．
當點E不在四邊形ABCD的內部時，有兩種情況：
如圖4，當點E在BC邊上時，同理可以證明△EFB≌△EHC，
∴∠B=∠C，
∴ABCD是“準等腰梯形”．
當點E在四邊形ABCD的外部時，
四邊形ABCD不一定是“準等腰梯形”．
分兩種情況：
情況一：
當∠BPC的角平分線與線段BC的垂直平分線重合時，四邊形ABCD為“準等腰梯形”；
情況二：
當∠BPC的角平分線與線段BC的垂直平分線相交時，四邊形ABCD不是“準等腰梯形”．
點評：本題考查了平行線的性質的運用，相似三角形的判定及性質的運用，角平分線的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時多次運用角平分線的性質是關鍵．