Question

（本題滿分10分）如圖，已知點O為△ABC的內心，連AO、BO、CO，過點O的直線分別交邊AB、AC于點M、N，

圖一 圖二

（1）若∠BAC=70°，那么∠BOC= °；

（2）如圖1，若MN∥BC，BM=2，CN=3，求線段MN的長；

（3）如圖2，若MN⊥AO，BM=2，CN=3，求線段MN的長．

 

Answer 1

（1）125°（2）5 （3）2

【解析】

試題分析：（1）由三角形的內心和角平分線的性質可以求出結果；

（2）由平行線的性質得到等腰三角形，然后利用等量代換得到所求的結果；

（3）根據三角形的內心和直角三角形角之間的關系判斷出三角形相似，從而得到線段之間的比例關系，從而得到結果.

試題解析:(1)∵O為△ABC的內心

∴OB,OB分別是∠ABC和∠ACB的角平分線

∴∠OBC+∠OBC=(∠ABC+∠ACB)

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OBC）=180°-(∠ABC+∠ACB)= 180°-(180°-∠BAC)=125°；

（2）由（1）知∠MBO=∠CBO

∵MN∥BC

∴∠CBO=∠BOM

∴∠MBO=∠BOM

∴MB=MO

同理CN=NO

∴MN=NO+MO=CN+MB=5

(3)由（1）知∠BOC=90°+∠BAC

∵AO⊥MN,∠BAO=∠CAO

∴∠BMO=∠CNO=90°+∠BAC

OM=0N

∴∠BMO=∠CNO=∠BOC

∴∠MBO=∠CBO,∠BCO=∠OBC

∴△MBO∽△NOC∽△OBC

∴

∴

即

∴

∴MN=2

考點：三角形的內心，角平分線的性質，三角形相似，等腰三角形的性質