Question

（2012•南開區二模）在邊長為2的正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，P是BD上一動點，過P作EF∥AC，分別交正方形的兩條邊于點E，F．設BP=x，△BEF的面積為y，則能反映y與x之間關系的圖象為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：分析，EF與X的關系，他們的關系分兩種情況，依情況來判斷拋物線的開口方向．
解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC=BD=2，OB=OD=BD=，
①當P在OB上時，即0≤x≤，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC=BP：OB，
∴EF=2BP=2x，
∴y=EF•BP=×2x×x=x²；
②當x在OD上時，即＜x≤2，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴EF：AC=DP：OD，
即EF：2=（2-x）：，
∴EF=2（2-x），
∴y=EF•BP=×2（2-x）×x=-x²+x，
這是一個二次函數，根據二次函數的性質可知：
二次函數的圖象是一條拋物線，開口方向決定，二次項的系數．
當系數＞0時，拋物線開口向上；系數＜0時，開口向下．所以由此圖我們會發現，EF的取值，最大是AC．當在AC的左邊時，EF=2BP；所以此拋物線開口向上，當在AC的右邊時，拋物線就開口向下了．故選C．
點評：此題的關鍵是利用三角形的面積公式列出二次函數解析式解決問題．