Question

【題目】如圖，D是△ABC的BC邊上一點，連接AD，作△ABD的外接圓，將△ADC沿直線AD折疊，點C的對應點E落在上．

（1）求證：AE=AB；

（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BC=

【解析】

（1）由翻折的性質得出△ADE≌△ADC，根據全等三角形對應角相等，對應邊相等得出∠AED=∠ACD，AE=AC，根據同弧所對的圓周角相等得出∠ABD=∠AED，根據等量代換得出∠ABD=∠ACD，根據等角對等邊得出AB=AC，從而得出結論；（2）如圖，過點A作AH⊥BE于點H，根據等腰三角形的三線合一得出BH=EH=1，根據等腰三角形的性質及圓周角定理得出∠ABE=∠AEB=ADB，根據等角的同名三角函數值相等及余弦函數的定義得出BH∶AB = 1∶3,從而得出AC=AB=3，在Rt三角形ABC中，利用勾股定理得出BC的長.

（1）由題意得△ADE≌△ADC，

∴∠AED=∠ACD，AE=AC

∵∠ABD=∠AED，

∴∠ABD=∠ACD

∴AB=AC

∴AE=AB

（2）如圖，過點A作AH⊥BE于點H

∵AB=AE，BE=2

∴BH=EH=1

∵∠ABE=∠AEB=ADB，cos∠ADB=

∴cos∠ABE=cos∠ADB=

∴ =

∴AC=AB=3

∵∠BAC=90°，AC=AB

∴BC=