Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，以DC為直徑的⊙O交△ABC的三邊，交點分別是G，E，F點．EG與CD交點為M．
（1）求證：∠GEF=∠A；
（2）求證：△OME∽△EMC；
（3）若ME=4，MD：CO=2：5，求⊙O面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接DF，如圖所示，由CD為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠CFD為直角，又因為∠ACB為直角，利用同位角相等的兩直線平行，得到DF與AC平行，根據兩直線平行同位角相等可得出∠BDF=∠A，而∠BDF與∠GEF都為弧FG所對的圓周角，利用同弧所對的圓周角相等得到∠BDF=∠GEF，等量代換可得證；
（2）由D為AB的中點，即CD為直角三角形ABC斜邊AB的中線，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出CD與AD相等，都為AB的一半，利用等邊對等角得到∠A=∠DCA，由（1）∠A=∠GEF，等量代換得到∠GEF=∠DCA，再由一對公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得證；
（3）由（2）得出的三角形CEM與三角形MOE相似，利用相似得比例，得到ME²=OM•MC，將ME的長代入求出OM•MC的值為96，由MD：CO=2：5，根據OD=OC，得出OM與CM的比值為3：8，設OM=3x，CM=8x，代入OM•MC=96中列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出半徑OC的長，即可求出圓O的面積．
解答：（1）證明：連接DF，如圖所示：

∵CD是圓O直徑，
∴∠CFD=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，
∵∠BDF與∠GEF為同弧所對的圓周角，
∴∠BDF=∠GEF，
∴∠GEF=∠A；                               

（2）證明：∵D是Rt△ABC斜邊AB的中點，
∴DC=DA=AB，
∴∠DCA=∠A，
又由（1）知∠GEF=∠A，
∴∠DCA=∠GEF，
又∵∠OME=∠EMC，
∴△OME∽△EMC；                        

（3）解：由（2）知△OME∽△EMC，
則=，即ME²=OM•MC，
又∵ME=4，
∴OM•MC=（4）²=96，
∵MD：CO=2：5，
∴OM：MD=3：2，
∴OM：MC=3：8，
設OM=3x，MC=8x，
∴3x•8x=96，即x²=4，
解得：x=2，
∴OC=5x=10，
∴圓O面積為100π．
點評：此題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：平行線的判定與性質，圓周角定理，直角三角形斜邊上的中線性質，相似三角形的判定與性質，比例的性質，利用了等量代換及方程的思想，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．