Question

已知關于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
①小明同學說：無論k取何實數，方程總有實數根，你認為他說的有道理嗎？
②若等腰三角形的一邊a=1，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長和面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）計算方程的根的判別式即可說明其根的情況；
（2）已知a=1，則a可能是底，也可能是腰，分兩種情況求得b，c的值后，再求出△ABC的周長．注意兩種情況都要用三角形三邊關系定理進行檢驗．
解答：解：（1）∵△=（k+2）²-4×1×2k=k²+4k+4-8k=k²-4k+4=（k-2）²≥0，
∴方程無論k取何值，總有實數根，
∴小明同學的說法合理；
（2）①當b=c時，則△=0，
即（k-2）²=0，
∴k=2，
方程可化為x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
而b=c=2，
∴C_△ABC=5，S_△ABC=；

②當b=a=1，
∵x²-（k+2）x+2k=0．
∴（x-2）（x-k）=0，
∴x=2或x=k，
∵另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，
∴k=1，
∴c=2，
∵a+b=c，
∴不滿足三角形三邊的關系，舍去；
綜上所述，△ABC的周長為5．
點評：本題考查了根與系數的關系，一元二次方程總有實數根應根據判別式來做，兩根互為相反數應根據根與系數的關系做，等腰三角形的周長應注意兩種情況，以及兩種情況的取舍．