Question

如圖所示，△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．
（1）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒，使△PBQ的面積等于8cm²？
（2）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，并且P到B后又繼續(xù)在BC邊上前進(jìn)，Q到C后又繼續(xù)在CA邊上前進(jìn)，經(jīng)過幾秒，使△PCQ的面積等于12.6cm²？

Answer 1

分析：（1）設(shè)x秒時(shí)．由三角形的面積公式列出關(guān)于x的方程，

1

2

（6-x）•2x=8，通過解方程求得x₁=2，x₂=4；
（2）過Q作QD⊥CB，垂足為D，構(gòu)建相似三角形△CQD∽△CAB，由該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到

QD

2x-8

=

AB

AC

，即QD=

6(2x-8)

10

；
然后由三角形的面積公式列出關(guān)于x的方程

1

2

（14-x）•

6(2x-8)

10

=12.6，解之得x₁=7，x₂=11．由實(shí)際情況出發(fā)，來對(duì)方程的解進(jìn)行取舍．

解答：解：（1）設(shè)x秒時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上，且使△PBQ面積為8cm²，
由題意得

1

2

（6-x）•2x=8，解之，得x₁=2，x₂=4，
經(jīng)過2秒時(shí)，點(diǎn)P到距離B點(diǎn)4cm處，點(diǎn)Q到距離B點(diǎn)4cm處；
或經(jīng)4秒，點(diǎn)P到距離B點(diǎn)2cm處，點(diǎn)Q到距離B點(diǎn)8cm處，△PBQ的面積為8cm²，
綜上所述，經(jīng)過2秒或4秒，△PBQ的面積為8cm²；

（2）當(dāng)P在AB上時(shí)，經(jīng)x秒，△PCQ的面積為：

1

2

×PB×CQ=

1

2

×（6-x）（8-2x）=12.6，
解得：x₁=

25+2 85

5

（不合題意舍去），x₂=

25-2 85

5

，
經(jīng)x秒，點(diǎn)P移動(dòng)到BC上，且有CP=（14-x）cm，點(diǎn)Q移動(dòng)到CA上，且使CQ=（2x-8）cm，
過Q作QD⊥CB，垂足為D，由△CQD∽△CAB得

QD

2x-8

=

AB

AC

，
即  QD=

6(2x-8)

10

，
由題意得

1

2

（14-x）•

6(2x-8)

10

=12.6，解之得x₁=7，x₂=11．
經(jīng)7秒，點(diǎn)P在BC上距離C點(diǎn)7cm處，點(diǎn)Q在CA上距離C點(diǎn)6cm處，使△PCQ的面積等于12.6cm²．
經(jīng)11秒，點(diǎn)P在BC上距離C點(diǎn)3cm處，點(diǎn)Q在CA上距離C點(diǎn)14cm處，14＞10，點(diǎn)Q已超出CA的范圍，此解不存在．
綜上所述，經(jīng)過7秒和

25-2 85

5

秒時(shí)△PCQ的面積等于12.6cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及一元二次方程的應(yīng)用．靈活運(yùn)用面積公式，列出方程，正確理解兩解，合理取合．