Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3動點P從點A出發，沿AC以每秒4個單位長度的速度向終點C運動．過點P（不與點A、C重合）作EF⊥AC，交AB或BC于點E，交AD或DC于點F，以EF為邊向右作正方形EFGH設點P的運動時間為t秒．

（1）①AC＝　 　．②當點F在AD上時，用含t的代數式直接表示線段PF的長　 　．

（2）當點F與點D重合時，求t的值．

（3）設方形EFGH的周長為l，求l與t之間的函數關系式．

（4）直接寫出對角線AC所在的直線將正方形EFGH分成兩部分圖形的面積比為1：2時t的值．

Answer 1

【答案】（1）①15；②8t；（2）t＝；（3）①當0＜t≤時，l＝40t；②當＜t≤3時，l＝30；③當3＜t＜時，l＝﹣40t+150；（4）t的值為或．

【解析】

（1）①由矩形的性質和勾股定理即可得出結果；

②由矩形的性質得出∠D＝90°，AD＝BC＝，CD＝AB＝，證明△APF∽△ADC，得出，即可得出結果；

（2）當點F與點D重合時，證明△APD∽△ADC，得出，即可得出結果；

（3）分情況討論：

①當0＜t≤時，由（1）②得：PF＝8t，同理：PE＝2t，得出EF＝10t，即可得出結果；

②當＜t≤3時，EF＝10t＝，即可得出結果；

③當3＜t＜時，同（1）①得：△CPF∽△ABC∽△EPC，得出，得出PF＝（15﹣4t），PE＝2（15﹣4t），求出EF＝PF+PE＝（15﹣4t）即可；

（4）由題意得出PE：PF＝1：2，或PF：PE＝1：2，①PE：PF＝1：2時，得出PF＝EF＝5，同理可證：△CPF∽△CDA，得出，即可得出結果；

②PF：PE＝1：2時，PF＝EF＝，則（15﹣4t）＝，解得：t＝即可．

解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

∴；

故答案為：15；

②∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝6，

∵EF⊥AC，

∴∠APF＝90°＝∠D，

∵∠PAF＝∠DAC，

∴△APF∽△ADC，

∴，即，

解得：PF＝8t；

故答案為：8t；

（2）當點F與點D重合時，如圖1所示：

∵∠APD＝∠ADC＝90°，∠PAD＝∠DAC，

∴△APD∽△ADC，

∴，即，

解得：t＝；

（3）分情況討論：

①當0＜t≤時，如圖2所示：

由（1）②得：PF＝8t，

同理：PE＝2t，

∴EF＝10t，

∴l＝4（8t+2t）＝40t；

②當＜t≤3時，如圖3所示：

EF＝10t＝，

l＝4×＝30．

③當3＜t＜時，如圖4所示：

同（1）①得：△CPF∽△ABC∽△EPC，

∴

即，

解得：PF＝（15﹣4t），PE＝2（15﹣4t），

∴EF＝PF+PE＝（15﹣4t），

∴l＝4×（15﹣4t）＝﹣40t+150；

（4）如圖3所示：對角線AC所在的直線將正方形EFGH分成兩部分圖形的面積比為1：2時，

則PE：PF＝1：2，或PF：PE＝1：2，

①PE：PF＝1：2時，

∵EF＝，

∴PF＝EF＝5，

同理可證：△CPF∽△CDA，

∴，即，

解得：PF＝（15﹣4t），

∴（15﹣4t）＝5，

解得：t＝；

②PF：PE＝1：2時，PF＝EF＝，

則（15﹣4t）＝，

解得：t＝；

綜上所述，對角線AC所在的直線將正方形EFGH分成兩部分圖形的面積比為1：2時t的值為或．