Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折疊，使AB落在AC上，點B與AC上的點E重合，展開后，折痕AD交BO于點F，連接DE、EF．觀察下列結論：
①tan∠DFE=2；
②若將△DEF沿EF折疊，則點D不一定落在AC上；
③2S_{四邊形DFOE}=S_△ABD；
④圖中有4對全等三角形；
⑤CD∥EF．
其中正確結論的有    （填序號）．

Answer 1

【答案】分析：根據折疊的知識，銳角正切值的定義，全等三角形的判定，面積的計算判斷所給選項是否正確即可．
解答：解：①由折疊可得BD=DE，而DC＞DE，∴DC＞BD，∴tan∠ADB≠2，故①錯誤；
②∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折疊，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF，
∴∠AEF=∠DEF=45°，∴將△DEF沿EF折疊，可得點D一定在AC上，故②錯誤；
③連接CF，

∵△AOF和△COF等底同高，
∴S_△AOF=S_△COF，
∵∠AEF=∠ACD=45°，
∴EF∥CD，故⑤正確；
∴S_△EFD=S_△EFC，
∴S_{四邊形DFOE}=S_△COF，
∴S_{四邊形DFOE}=S_△AOF，
又S_△ABD=S_△ADE=S_△AOF+S_{四邊形DFOE}=2S_{四邊形DFOE}，
故③正確；
④圖中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，（由折疊可知）
∵OB⊥AC，∴∠AOB=∠COB=90°，
在Rt△AOB和Rt△COB中，
，
∴Rt△AOB≌Rt△COB（HL），
則全等三角形共有4對，故④正確．
正確的有③、④、⑤．
故答案為：③、④、⑤．
點評：本題綜合考查了由折疊得到的相關問題；注意由對稱也可得到一對三角形全等；用到的知識點為：三角形的中線把三角形分成面積相等的2部分；兩條平行線間的距離相等．