Question

已知：關于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0 （k是整數）．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的兩個實數根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），設y=x₂-x₁，判斷y是否為變量k的函數？如果是，請寫出函數解析式；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據一元二次方程定義得k≠0，再計算△=（4k+1）²-4k（3k+3），配方得△=（2k-1）²，而k是整數，則2k-1≠0，得到△=（2k-1）²＞0，根據△的意義即可得到方程有兩個不相等的實數根；
（2）先根據求根公式求出一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0 的解為x=3或x=1+，而k是整數，x₁＜x₂，則有x₁=1+，x₂=3，于是得到y=3-（1+）=2-．
解答：（1）證明：k≠0，
△=（4k+1）²-4k（3k+3）
=（2k-1）²，
∵k是整數，
∴k≠，2k-1≠0，
∴△=（2k-1）²＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根；

（2）解：y是k的函數．
解方程得，x==，
∴x=3或x=1+，
∵k是整數，
∴≤1，
∴1+≤2＜3．
又∵x₁＜x₂，
∴x₁=1+，x₂=3，
∴y=3-（1+）=2-．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了利用公式法解一元二次方程．