Question

已知關于x函數y=（2-k）x²-2x+k
（1）若此函數的圖象與坐標軸只有2個交點，求k的值．
（2）求證：關于x的一元二次方程（2-k）x²-2x+k=0必有一個根是1．

Answer 1

【答案】分析：（1）分情況討論：（i）k-2=0時，求出k．（ⅱ）k-2≠0時，得到一個二次函數，①拋物線與x軸只有一個交點，△=4（k-1）²，求出k；②拋物線與x軸有兩個交點，其中一個交點是（0，0），把（0，0）代入函數解析式，求出k．
（2）設關于x的一元二次方程（2-k）x²-2x+k=0的兩個實數根分別為x₁，x₂，根據公式求出方程的解即可得到答案．
解答：（1）解：分情況討論：
（i）k-2=0時，得k=2．
此時y=-2x+2與坐標軸有兩個交點，符合題意；
（ⅱ）k-2≠0時，得到一個二次函數，
①拋物線與x軸只有一個交點，△=b²-4ac=（-2）²-4k（2-k）=4（k-1）²，
解得k=1；
②拋物線與x軸有兩個交點，其中一個交點是（0，0），
把（0，0）代入函數解析式，易得k=0；
故答案為：2或0或1．

（2）證明：設關于x的一元二次方程（2-k）x²-2x+k=0的兩個實數根分別為x₁，x₂，
∴，
∴，
∴關于x的一元二次方程（2-k）x²-2x+k=0必有一個根是1．
點評：本題主要考查對拋物線與x軸的交點，一次函數的性質，根的判別式，根與系數的關系，解一元二次方程-公式法等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．