Question

正方形ABCD的邊長為1，E、F兩點分別位于BC、CD上，DF=m，BE=n，∠EAF=45°，△EFC的內切圓的半徑為r．
（1）證明：EF=m+n；
（2）證明：（m+1）（n+1）=2；
（3）若m＜n，r=求m、n的值．

Answer 1

（1）證明：延長CB至G，使BG=DF，連接AG．
在△AGB和△AFD中，
∵AB=AD，∠ABG=∠ADF，BG=DF，
∴△AGB≌△AFD，
∴AG=AF，∠GAB=∠FAD，
又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAD=∠BAE+∠GAB=45°，
∴∠EAG=∠EAF=45°，
在△EAG和△EAF中，
∵AE=AE，∠EAG=∠EAF，AG=AF，
∴△EAG≌△EAF，
∴EG=EF，
又∵EG=EB+BG=BE+DF=n+m，
∴EF=m+n．

（2）在Rt△FEC中，
∵EF²=CE²+CF²，
∴（m+n）²=（1-n）²+（1-m）²，
展開整理得mn+m+n=1，
兩邊同加上1，左邊因式分解得（m+1）（n+1）=2．

（3）∵S_△EFC=（CE+CF+EF）r，
∴當r=時得，（1-m）（1-n）=[（1-m）+（1-n）+（m+n）]×，
整理得（1-m）（1-n）=，
結合第2問結論：
（m+1）（n+1）=2消元得m=，n=；m=，n=．
∵m＜n，
∴m=，n=．
分析：（1）作出輔助線，證出△AGB≌△AFD，根據全等三角形的性質求出AG=AF，∠GAB=∠FAD，再進一步證出
再證出△EAG≌△EAF，得到EG=EF，然后即可求出EF的長．
（2）找到Rt△FEC，將各邊用含m的代數式表示，利用勾股定理解答．
（3）根據三角形的面積相等列出關于m、n的等式，結合（2）的結論，即可求出m、n的值．
點評：此題是一道圓、正方形和三角形相結合的題目，綜合性較強．
（1）解答此小題時，要運用全等三角形的知識；
（2）運用勾股定理是解答此題的關鍵；
（3）根據三角形的面積不變列出等式是常用的解答此類問題方法．