Question

如圖所示是二次函數y=-x²+4x圖象上的一段，其中0≤x≤4、若矩形ABCD的兩個頂點A，B落在x軸上，另外兩個頂點C，D落在函數圖象上，則矩形ABCD的周長能否恰好為8？若能，請求出C，D兩點坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：假設能，故可設周長恰好是8，令點A的橫坐標為x，則由y=-x²+4x可得頂點橫坐標為-

4

2×(-1)

=2，
故點B的橫坐標為2+（2-x）=4-x，AB=4-x-x=4-2x；
D點縱坐標為-x²+4x，C點縱坐標為-（4-x）²+4（4-x），
則有-x²+4x+（4-2x）=

1

2

×8，解之得：x=0或2；則可推理得到結論：構不成矩形．問題可求．

解答：解：假設周長恰好是8，設點A的橫坐標為x，
∵y=-x²+4x，
∴頂點橫坐標為-

4

2×(-1)

=2，
∴點B的橫坐標為2+（2-x）=4-x，
∴AB=4-x-x=4-2x；
∴D點縱坐標為-x²+4x，
即AD=-x²+4x；
∴AD+AB=-x²+4x+（4-2x）=

1

2

×8，
∴x=0或2；
∴當x=0時，-x²+4x=0，D和C點縱坐標為0，構不成矩形．
∴當x=2時，-x²+4x=4，只有一個最高點存在，同樣構不成矩形，
綜合可知，與能構成矩形矛盾，故不存在．

點評：此類問題的解答，可以用反證法去說明．假設結論成立或假設存在，據條件進行合理的推導，進而將問題解決．