Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，點A的坐標為(－3，0)，若將經過A、C兩點的直線y＝kx＋b沿y軸向下平移3個單位后恰好經過原點，且拋物線的對稱軸是直線x＝－2．

(1)求直線AC及拋物線的函數表達式；

(2)如果P是線段AC上一點，設△ABP、△BPC的面積分別為S_△ABP、S_△BPC，且S_△ABP∶S_△BPC＝2∶3，求點P的坐標；

(3)設⊙Q的半徑為l，圓心Q在拋物線上運動，則在運動過程中是否存在⊙Q與坐標軸相切的情況？若存在，求出圓心Q的坐標；若不存在，請說明理由．并探究：若設⊙Q的半徑為r，圓心Q在拋物線上運動，則當r取何值時，⊙Q與兩坐軸同時相切？

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：(1)∵沿軸向下平移3個單位后恰好經過原點， 　　∴，． 　　將代入，得．解得． 　　∴直線AC的函數表達式為． 　　∵拋物線的對稱軸是直線 　　∴解得 　　∴拋物線的函數表達式為． 　　(2)如圖，過點B作BD⊥AC于點D． 　　∵， 　　∴ 　　∴． 　　過點P作PE⊥x軸于點E， 　　∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO， 　　∴， 　　∴ 　　∴，解得 　　∴點P的坐標為 　　(3)(Ⅰ)假設⊙Q在運動過程中，存在與坐標軸相切的情況． 　　設點Q的坐標為． 　　①當⊙Q與y軸相切時，有，即． 　　②當時，得，∴ 　　當時，得，∴ 　　①當⊙Q與x軸相切時，有，即 當時，得，即，解得，∴ 　　當時，得，即，解得，∴，． 　　綜上所述，存在符合條件的⊙Q，其圓心Q的坐標分別為，，，，． 　　(Ⅱ)設點Q的坐標為． 　　當⊙Q與兩坐標軸同時相切時，有． 　　由，得，即， 　　∵△= 　　∴此方程無解． 　　由，得，即， 　　解得 　　∴當⊙Q的半徑時，⊙Q與兩坐標軸同時相切．