Question

如圖，在45°的Rt△ABC中，∠A=90°，DE⊥BC，BD是∠ABC的平分線，求證：△DEC的周長等于BC．

Answer 1

分析：由角平分線的性質就可以得出AD=DE，再證明△EBD≌△ABD就可以得出AB=BE，由AB=BC就可以得出結論．

解答：證明：∵∠A=90°，DE⊥BC且BD是∠ABC的平分線
∴AD=ED（角平分線線上的點到角兩邊的距離相等）
在Rt△ABD和Rt△EBD中，

BD=BD AD=ED

，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL）
∴AB=EB（全等三角形的對應邊相等）
∵DEC的周長=DE+DC+EC=AC+EC
∵△ABD是45°的直角三角形
∴AB=AC=EB
∴DEC的周長=EB+EC=BC．

點評：本題考查了角平分線的性質的運用，等腰直角三角形的性質的運用，三角形的周長的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．