Question

（2009•番禺區一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm，長為1cm的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1（cm/s）的速度向點B運動（運動開始時點M與點A重合），過M、N分別作AB的垂線交直角邊于P、Q兩點（如圖），設線段MN運動的時間為t（s）時，△BNQ的面積為ycm²．
（1）求出y與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）當MN運動幾秒鐘后，y最大，最大值為多少？
（3）線段MN運動過程中，四邊形MNQP有可能成為矩形嗎？若有可能，求出此時t的值；若不可能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要分兩種情況進行討論：
①當Q在AC上運動時即當0≤t≤1時，可在直角三角形ANQ中，根據∠A的度數和AN的長表示出NQ的長，進而可根據三角形的面積公式得出y，t的函數關系式；
②當Q在BC上運動時即當1＜t≤7時，先根據AN的長表示出BN的值，然后在直角三角形BNQ中，根據∠CBN的度數求出NQ的長，然后同①；
（2）可根據（1）得出的函數的性質，求出y的最大值及對應的t的值；
（3）若要四邊形PMNQ成為矩形，必須滿足的條件是MP=QN，此時P在AC上，Q在BC上，可在直角三角形AMP和BNQ中分別用t表示出MP和NQ的長，然后根據MP=NQ求出t的值．
解答：解：（1）作CH⊥AB于H，
∵∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm
∴AB=8，AH=2，CH=2，
①當0≤t≤1時點P，Q均在AC上，在Rt△ANQ中，
∵∠A=60°，AN=t+1，
∴NQ×tan60°=（t+1），
又BN=AB-AM-MN=8-t-1=7-t，
∴y=BN•NQ=×（t+1）×（7-t）=-（t²-6t-7）；
②當1＜t≤7時，點Q在BC上，在Rt△BNQ中，
∵∠QBN=30°，BN=7-t，
∴NQ=BN×tan30°=（7-t），
∴y=BN•NQ=×（7-t）×（7-t）=（7-t）²，
綜上所述∴；

（2）當0≤t≤1時，二次函數y=-（t²-6t-7）=-[（t-3）²-16]，
其對稱軸為t=3，開口向下，
當t≤3時y隨t的增大而增大，
故知當t=1時，y最大，其最大值為6cm²，
又二次函數y=（7-t）²在1＜t≤7時，y隨t的增大而減小，
而t=1時，亦有y=，
綜上所述，線段MN運動1（s）后即達到最大值，其最大值為6cm²；

（3）若四邊形MNQP為矩形，必需PM=QN，點P在AC上，點Q在BC上，
在Rt△BNQ中，NQ=BN×tan30°=（7-t），
在Rt△APM中，PM=AM×tan60°=t，
由PM=QN，得t=（7-t），
∴t=，
∴當t=（s）時，四邊形MNQP為矩形．
點評：本題考查了直角三角形的性質、二次函數的應用、矩形的判定等知識．綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．