Question

在正方形ABCD中，點E為BC邊的中點，點B′與點B關于AE對稱，B′B與AE交于點F，連接AB′，DB′，FC．下列結論：①AB′=AD；②△FCB′為等腰直角三角形；③∠ADB′=75°；④∠CB′D=135°．其中正確的是（ ）

A．①②
B．①②④
C．③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：①根據軸對稱圖形的性質，可知△ABF與△AB′F關于AE對稱，即得AB′=AD；
②連接EB′，根據E為BC的中點和線段垂直平分線的性質，求出∠BB′C為直角三角形；
③假設∠ADB′=75°成立，則可計算出∠AB′B=60°，推知△ABB′為等邊三角形，B′B=AB=BC，與B′B＜BC矛盾；
④根據∠ABB′=∠AB′B，∠AB′D=∠ADB′，結合周角定義，求出∠DB′C的度數．
解答：解：①∵點B′與點B關于AE對稱，
∴△ABF與△AB′F關于AE對稱，
∴AB=AB′，
∵AB=AD，
∴AB′=AD．故本選項正確；

②如圖，連接EB′．
則BE=B′E=EC，
∠FBE=∠FB′E，
∠EB′C=∠ECB′．
則∠FB′E+∠EB′C=∠FBE+∠ECB′=90°，
即△BB′C為直角三角形．
∵FE為△BCB′的中位線，
∴B′C=2FE，
∵△B′EF∽△AB′F，
∴=，
即==，
故FB′=2FE．
∴B′C=FB′．
∴△FCB′為等腰直角三角形．
故本選項正確．

③假設∠ADB′=75°成立，
則∠AB′D=75°，
∠ABB′=∠AB′B=360°-75°-75°-90°=60°，
∴△ABB′為等邊三角形，
故B′B=AB=BC，與B′B＜BC矛盾，
故本選項錯誤．

④設∠ABB′=∠AB′B=x度，
∠AB′D=∠ADB′=y度，
則在四邊形ABB′D中，2x+2y+90°=360°，
即x+y=135度．
又∵∠FB′C=90°，
∴∠DB′C=360°-135°-90°=135°．
故本選項正確．
故選B．
點評：此題考查了正方形的性質、等腰直角三角形的判定和性質，等邊三角形的性質及反證法等知識，綜合性很強，值得關注．