Question

如圖，以?ABCD的邊AB為直徑的⊙O交對角線BD于P，交邊BC于Q，連接AQ交BD于E．
（1）求證：AE²=EP•ED；
（2）若BP=PD，試判斷?ABCD是何種特殊平行四邊形？請說明理由；并求當AE=4，EQ=2時?ABCD的面積．

Answer 1

（1）證明：連接AP，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2（圓周角定理），
∴∠1=∠3，
又∵∠AEP=∠DEA（同一個角），
∴△AEP∽△DEA，
∴=，
∴AE²=EP•ED．

（2）解：∵AB是⊙O直徑，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BD，
∵BP=PD，
∴AP垂直平分BD，
∴AD=AB，
∴四邊形ABCD是菱形，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△QBE，
∴==，
設BQ=x，則AB=AD=2x，
∵∠AQB=90°（圓周角定理），
∴AQ²+BQ²=AB²，即x²+6²=（2x）²，
解得：x=2，
∴BC=AB=4，
∴?ABCD的面積=BC×AQ=4×6=24．
分析：（1）連接AP，由平行線的性質及圓周角定理可判斷∠1=∠3，再由∠AEP=∠DEA，可得△AEP∽△DEA，根據對應邊成比例可得出結論．
（2）判斷AP垂直平分BD后，可得AD=AB，繼而得出四邊形ABCD是菱形，由AD∥BC，可得△ADE∽△QBE，從而有==，設BQ=x，則AB=AD=2x，在Rt△ABQ中，利用勾股定理可求出x，繼而得出BC的長度，求出?ABCD的面積．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理及勾股定理的知識，解答本題的關鍵是要求同學們熟練掌握各性質定理的內容，并靈活運用．