Question

【題目】操作與證明：

如圖1，把一個含45°角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合，點E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點M，EF的中點N，連接MD、MN．
（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形；
猜想與發現：
（2）在（1）的條件下，請判斷線段MD與MN的關系，得出結論；
結論：DM、MN的關系是：；
拓展與探究：
（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點C旋轉180°，其他條件不變，則（2）中的結論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，

∵CE=CF，

∴BE=DF，

∴△ABE≌△ADF，

∴AE=AF，

∴△AEF是等腰三角形

（2）MN=DM,MN⊥DM
（3）解：結論仍然成立．

理由：如圖2中，連接AE，設AE交DM于O，交CD于G．

∵AB=AD，BE=DF，∠ABE=∠ADF=90°，

∴△ABE≌△ADF，

∴AF=AE，∠AFD=∠AEB，

∵AM=MF，FN=EN，

∴MN= AE，DM= AF，

∴MN=DM，

∵DM=MF=AM，

∴∠MDF=∠MFD=∠AEB，

∵∠DGO=∠CGE，∠ODG=∠CEG，

∴∠DOG=∠ECG=90°，

∵NM∥AE，

∴∠DOG=∠DMN=90°，

∴MN⊥DM，MN=DM．

【解析】（2）解：結論：DM=MN，DM┴MN

證明：∵AM=FM，FN=EN，

∴MN= AE，DM= AF，

∵AE=AF，

∴MN=DM，

∵∠ADF=90°，AM=MF，

∴MD=MA=MF，

∴∠MAD=∠ADM，

∵∠DMF=∠MAD+∠ADM=2∠DAM，

∵△ABE≌△ADF，

∴∠BAE=∠DAF，

∵∠EAF+2∠DAM=90°，

∵MN∥AE，

∴∠NMF=∠EAF，

∴∠NMF+∠DMF=90°，

∴DM⊥MN．

∴MN=DM，MN⊥DM．

所以答案是MN=DM，MN⊥DM．

（1）欲證明△AEF是等腰三角形，只要證明△ABE≌△ADF即可；（2）結論：DM=MN，DM┴MN．利用三角形中位線定理．直角三角形斜邊中線定理即可解決問題．（3）結論不變．證明方法類似．