Question

如圖，AB為半圓O的直徑，點C在半圓O上，過點O作BC的平行線交AC于點E，交過點A的直線于點D，且∠D=∠BAC．
（1）求證：AD是半圓O的切線；
（2）若BC=2，CE=，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證AD是半圓O的切線只要證明∠DAO=90°即可；
（2）由兩組角對應相等的兩個三角形相似可得到△DOA∽△ABC，據相似三角形的對應邊成比例可得到AD的長．
解答：（1）證明：∵AB為半圓O的直徑，
∴∠BCA=90°．
又∵BC∥OD，
∴OE⊥AC．
∴∠D+∠DAE=90°．
∵∠D=∠BAC，
∴∠BAC+∠DAE=90°．
∴AD是半圓O的切線．

（2）解：∵BC∥OD，
∴△AOE∽△ABC，
∵BA=2AO，
∴==，又CE=，
∴AC=2CE=．
在Rt△ABC中，
AB==，
∵∠D=∠BAC，∠ACB=∠DAO=90°，
∴△DOA∽△ABC．
∴即．
∴．
點評：此題考查學生對切線的判定及相似三角形的判定方法的掌握情況．