Question

如圖（1），四邊形ABCD中，將頂點為A的角繞著頂點A順時針旋轉(zhuǎn)，角的一條邊與DC的延長線交于點F，角的另一條邊與CB的延長線交于點E，連接EF

（1）若四邊形ABCD為正方形，當(dāng)∠EAF=45°時，有EF=DF-BE，請你思考如何證明這個結(jié)論（只思考，不必寫出證明過程）；
（2）如圖（2），如果在四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，當(dāng)∠EAF=∠BAD時，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出它們之間的關(guān)系式（只需寫出結(jié)論）；
（3）如圖（3），如果四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，當(dāng)∠EAF=∠BAD時，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出它們之間的關(guān)系式并給予證明；
（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周長（直接寫出結(jié)果即可）。

Answer 1

解：（1）證明：在DF上截取DM=BE； ∵AD=AB，∠ABE=∠ADM=90°， ∴△ABE≌△ADM， ∴AE=AM，∠EAB=∠DAM， ∵∠EAF=45°，且∠EAB=∠DAM， ∴∠BAF+∠DAM=45°，即∠MAF=45°=∠EAF， 又∵AE=AM，AF=AF， ∴△AEF≌△AMF，得EF=FM， ∵DF=DM+FM， ∴DF=BE+EF，即EF=DF-BE；
（2）EF=DF-BE；
（3）EF=DF-BE； 證明：在DF上截取DM=BE， ∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°， ∴∠D=∠ABE， ∴AD=AB， ∴△ADM≌△ABE， ∴AM=AE，∠DAM=∠BAE； ∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠BAD， ∴∠DAM+∠BAF=∠BAD， ∴∠MAF=∠BAD， ∵AF是△EAF與△MAF的公共邊， ∴△EAF≌△MAF， ∴EF=MF， ∵M(jìn)F=DF-DM=DF-BE， ∴EF=DF-BE；
（4）△CEF的周長為15。