Question

已知：如圖，AB=AC，PB=PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E．
（1）求證：PD=PE；
（2）若AB=BP，∠DBP=45°，AP=2，求四邊形ADPE的面積．

Answer 1

分析：（1）連接AP，構造全等三角形，再根據角平分線的性質即可證明；
（2）設DP=x，根據等腰直角三角形的性質表示出BP，則可表示出AB，根據勾股定理即可求解．

解答：（1）證明：連接AP．
在△ABP和△ACP中，
∵AB=AC，PB=PC，AP=AP，
∴△ABP≌△ACP（SSS）．
∴∠BAP=∠CAP，
又∵PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，
∴PD=PE（角平分線上點到角的兩邊距離相等）．

（2）解：∵PD⊥AB，∠DBP=45°，
∴△BDP是等腰直角三角形
設DP=x，則BP=

2

x．
在直角△ADP中，
由勾股定理，得
x2+[(1+

2

)x]2=4，
整理得(4+2

2

)x2=4，
x2=

2

2+ 2

．
∴四邊形ADPE的面積=2×△APD的面積=x(1+

2

)x=(1+

2

)•

2

2+ 2

=

2

．

點評：綜合運用全等三角形的判定和性質、角平分線的性質以及勾股定理．