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(2007•中山)如圖,正方形ABCD的邊長為3a,兩動點E、F分別從頂點B、C同時開始以相同速度沿BC、CD運動,與△BCF相應的△EGH在運動過程中始終保持△EGH≌△BCF,對應邊EG=BC,B、E、C、G在一直線上.
(1)若BE=a,求DH的長;
(2)當E點在BC邊上的什么位置時,△DHE的面積取得最小值?并求該三角形面積的最小值.

【答案】分析:(1)可通過構建直角三角形求解.連接FH,則FH∥BE且FH=BE,FH⊥CD.因此三角形DFH為直角三角形.
點E、F分別從頂點B、C同時開始以相同速度沿BC、CD運動,那么DF=3a-a=2a,DF=2a,FH=a,根據勾股定理就求出了DH的長.
(2)設BE=x,△DHE的面積為y,通過三角形DHE的面積=三角形CDE的面積+梯形CDHG的面積-三角形EGH的面積,來得出關于x,y的函數關系式,然后根據函數的性質求出y取最小值時x的值,并求出此時y的值.
解答:解:(1)連接FH,則FH∥BE且FH=BE,
在Rt△DFH中,DF=3a-a=2a,FH=a,∠DFH=90°,
所以,DH==a;

(2)設BE=x,△DHE的面積為y,
依題意y=S△CDE+S梯形CDHG-S△EGH
=×3a×(3a-x)+×(3a+x)×x-×3a×x
=x2-ax+a2
y=x2-ax+a2=(x-a)2+a2
當x=a,即BE=BC,E是BC的中點時,y取最小值,△DHE的面積y的最小值為a2
點評:本題主要考查了正方形的性質,二次函數的綜合應用等知識點.
練習冊系列答案
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