Question

（2003•綿陽）若點P（t，t）在拋物線上，則點P叫做拋物線的不動點．設(shè)拋物線y=ax²+x+2經(jīng)過點（-1，0）
（1）求這條拋物線的頂點和不動點的坐標(biāo)；
（2）將這條拋物線進行平移，使其只有一個不動點．證明平移后的拋物線的頂點在直線4x-4y-1=0上．

Answer 1

【答案】分析：（1）可將已知點的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式，進而可求出其頂點坐標(biāo)．
按題目給出的不動點的形式設(shè)出不動點的坐標(biāo)，然后將其代入拋物線中，即可求出不動點的坐標(biāo)．
（2）可設(shè)出平移后拋物線的解析式，由于這個拋物線只有一個不動點，因此這個函數(shù)與直線y=x只有一個交點，根據(jù)根的判別式即可得出平移后拋物線解析式的頂點坐標(biāo)，然后將其代入直線4x-4y-1=0中，進行判斷即可．
解答：解：（1）已知拋物線y=ax²+x+2經(jīng)過點（-1，0），
則有：a-1+2=0，a=-1
∴y=-x²+x+2=-（x-）²+
∴拋物線的頂點為（，）
設(shè)不動點P的坐標(biāo)為（m，m），
則有：-m²+m+2=m，
解得m=±，
∴不動點（，）和（-，-）．

（2）設(shè)平移后的拋物線為y=-（x-a）²+b，
由于拋物線只有一個不動點，
因此拋物線與直線y=x只有一個交點，
即x=-（x-a）²+b，
化簡得-x²+（2a-1）x-（a2-b）=0，
△=（2a-1）²-4（a²-b）=0，即4a-4b-1=0，
很明顯，平移后拋物線的頂點在直線4x-4y-1=0上．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖象交點等知識點．