Question

如圖，已知△ABC中，∠B＝48°，∠C＝62°，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊AB和邊AC上，將把△AEF沿EF折疊得△DEF，點(diǎn)D正好落在邊BC上（點(diǎn)D不與點(diǎn)B．點(diǎn)C重合）．

（1）如圖1，若BD=BE，則△CDF是否為等腰三角形？請說明理由．
（2）△BDE、△CDF能否同時(shí)為等腰三角形？若能，請畫出所有可能的圖形，并直接指出△BDE、△CDF的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）△CDF不是等腰三角形，理由見試題解析；（2）△BDE、△CDF能同時(shí)為等腰三角形，內(nèi)角度數(shù)為：∠BDE＝∠B＝48°，∠BED＝84°，∠FDC＝∠C＝62°，∠DFC＝56°．

試題分析：（1）利用三角形內(nèi)角和算出∠A，等腰三角形性質(zhì)算出∠BDE，再用折疊性質(zhì)得到∠EDF=∠A，根據(jù)平角性質(zhì)得到∠CDF，再算出∠DFC，進(jìn)行判斷即可；（2）若△BDE為等腰三角形，共有三種可能：
①BD=BE；由（1）可知，若BD=BE，則△CDF不是等腰三角形；
②BE=ED，可得：∠EDB=∠B=48°，又∠EDF=∠A=70°，得到∠FDC的度數(shù)；進(jìn)行判斷即可；
③BD=ED，同樣求出∠BDE和∠CDF，∠DFC，然后進(jìn)行判斷．
試題解析：（1）△CDF不是等腰三角形；理由：
∵∠B＝48°，∠C＝62°，∴∠A＝180°-48°-62°=70°，
∵BD=BE，∴∠BDE＝(180°-48°)÷2=66°，
∵△AEF沿EF折疊得△DEF，∴∠EDF=∠A＝70°，
∴∠FDC＝180°-66°-70°=44°，∴∠DFC＝180°-44°-62°=74°，
∴△CDF不是等腰三角形．
（2）△BDE、△CDF能同時(shí)為等腰三角形．
∵△BED為等腰三角形，共有三種情況，BD=BE，BE=ED，BD=ED.
①若BD=BE；由（1）可知，若BD=BE，則△CDF不是等腰三角形；
②若BE=ED，可得：∠EDB=∠B=48°，又∵∠EDF=∠A=70°，∴∠FDC=180°－48°-70°=62°，∵∠C=62°，∴△DFC是等腰三角形，此時(shí)：∠BDE＝∠B＝48°，∠BED＝84°，∠FDC＝∠C＝62°，∠DFC＝56°；
③若BD=ED，則∠B=∠BED=48°，∴∠EDB=180°－48°－48°=84°，∴∠FDC=180°－∠EDF－∠BDE=180°－84°－70°=26°，∠DFC=180°－∠C－∠CDF=180°－62°－26°=92°，此時(shí)△DCF不是等腰三角形；
∴只有一種情況：∠BDE＝∠B＝48°，∠BED＝84°，∠FDC＝∠C＝62°，∠DFC＝56°．