Question

如圖，在直角坐標系中，射線OA與x軸正半軸重合，以O為旋轉中心，將OA逆時針旋轉：OA?OA₁?OA₂…?OA_n…，旋轉角∠AOA₁=2°，A₁OA₂=4°，∠A₂OA₃=8°，…要求下一個旋轉角（不超過360°）是前一個旋轉角的2倍．當旋轉角大于360°時，又從2°開始旋轉，即∠A₈OA₉=2°，∠A₉OA₁₀=4°，…周而復始．則當OA_n與y軸正半軸重合時，n的最小值為（ ） （提示：2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸=510）

A．16
B．24
C．27
D．32

Answer 1

【答案】分析：由題意知：每8組角為一個循環；若OA與y軸正半軸重合，那么射線OA旋轉的度數為：360°•k+90°，即旋轉的角度為整數，且是10的倍數；在每組的循環中，前4組或后4組角的度數和正好是10°的倍數，因此所求的n值必為4的倍數，首先可以排除的是C選項，然后再將A、B、D代入旋轉角度表達式中進行驗證即可，能求出k是正整數的就是符合題意的n值．
解答：解：若經過旋轉OA_n與y軸正半軸重合，那么射線OA旋轉的角度為：360°•k+90°，（k為正整數）
因此旋轉的角度必為10°的倍數；
由題意知：2+2²+2³+2⁴=30，2⁵+2⁶+2⁷+2⁸=480；
即n的值必為4的倍數，顯然C選項不符合題意；
A、當n=16時，旋轉的角度為：510°×（16÷8）=1020°，
即360°•k+90°=1020°，所求得的k值不是正整數，故A選項不符合題意；
B、當n=24時，旋轉的角度為：510°×（24÷8）=1530°，
即360°•k+90°=1530°，解得k=4，故B選項符合題意；
D、顯然32＞24，已經證得B選項符合題意，那么D選項一定不符合題意；
故選B．
點評：此題主要運用了排除法來解答，正確地表示出射線OA旋轉的角度，判斷出n是4的倍數，是解決此題的關鍵，難度較大．