Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．點D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點，連接DE、DF，動點P，Q分別從點A、B同時出發，運動速度均為1cm/s，點P沿A    F    D的方向運動到點D停止；點Q沿BC的方向運動，當點P停止運動時，點Q也停止運動．在運動過程中，過點Q作BC的垂線交AB于點M，以點P，M，Q為頂點作平行四邊形PMQN．設平行四邊形邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分的面積為y（cm²）（這里規定線段是面積為0有幾何圖形），點P運動的時間為x（s）
（1）當點P運動到點F時，CQ=______cm；
（2）在點P從點F運動到點D的過程中，某一時刻，點P落在MQ上，求此時BQ的長度；
（3）當點P在線段FD上運動時，求y與x之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）當點P運動到點F時，求出AF=FC=3cm，BQ=AF=3cm，即可求出答案；
（2）根據在點P從點F運動到點D的過程中，點P落在MQ上得出方程t+t-3=8，求出即可；
（3）求出DE=AC=3，DF=BC=4，證△MBQ∽△ABC，求出MQ=x，分為三種情況：①當3≤x＜4時，重疊部分圖形為平行四邊形，根據y=PN•PD代入求出即可；②當4≤x＜時，重疊部分為矩形，根據圖形得出y=3[（8-X）-（X-3））]；③當≤x≤7時，重疊部分圖形為矩形，根據圖形得出y=3[（x-3）-（8-x）]，求出即可．
解答：解：（1）當點P運動到點F時，
∵F為AC的中點，AC=6cm，
∴AF=FC=3cm，
∵P和Q的運動速度都是1cm/s，
∴BQ=AF=3cm，
∴CQ=8cm-3cm=5cm，
故答案為：5．

（2）設在點P從點F運動到點D的過程中，點P落在MQ上，如圖1，
則t+t-3=8，
t=，
BQ的長度為×1=（cm）；

（3）∵D、E、F分別是AB、BC、AC的中點，
∴DE=AC=×6=3，
DF=BC=×8=4，
∵MQ⊥BC，
∴∠BQM=∠C=90°，
∵∠QBM=∠CBA，
∴△MBQ∽△ABC，
∴=，
∴=，
MQ=x，
分為三種情況：①當3≤x＜4時，重疊部分圖形為平行四邊形，如圖2，

y=PN•PD
=x（7-x）
即y=-x²+x；
②當4≤x＜時，重疊部分為矩形，如圖3，

y=3[（8-X）-（X-3））]
即y=-6x+33；
③當≤x≤7時，重疊部分圖形為矩形，如圖4，

y=3[（x-3）-（8-x）]
即y=6x-33．
點評：本題考查了函數的應用，矩形的性質，平行四邊形的性質，三角形的中位線等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行計算的能力，用了分類討論思想．