Question

（2011•南城縣模擬）如圖等腰梯形ABCD是⊙O的內接四邊形，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四邊形ABCD的周長為15．
（1）求證：BC是直徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明BC是直徑，就要證明∠BAC=90°，利用內接梯形的性質和已知條件即可得出．
（2）陰影部分的面積等于三角形的面積+弓形的面積，根據面積公式計算即可．
解答：（1）證明：∵等腰梯形ABCD是⊙O的內接四邊形，
∴∠ADC+∠ABC=180°．
∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-120°=60°．（1分）
∴∠DCB=∠ABC=60°．（2分）
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB=30°．（3分）
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC=90°．（4分）
∴BC是直徑．（5分）

（2）解：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=30°．
∴∠DAC=∠DCA．
∴AD=DC．（6分）
設CD=x，得AB=AD=DC=x，
∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，
∴BC=2x．
∵四邊形ABCD的周長為15，
∴x=3．（8分）
∴BC=6，AO=DO=3．
連接AO、DO，
∠AOD=2∠ACD=60°，（9分）
∵△ADO和△ADC同底等高，
∴S_△ADO=S_△ADC（10分）
∴圖中陰影部分的面積=扇形AOD的面積=．（11分）
（注：如果學生有不同的解題方法，只要正確，可參考評分標準，酌情給分．）
點評：本題主要考查了直徑所對的圓周角是90的知識和扇形的面積公式．