Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于兩點A（1，0），B（3，0）與y軸相交于點C（0，3），
（l）求拋物線的函數關系式；
（2）若點D（4，m）是拋物線y=ax²+bx+c上一點，請求出m的值，并求出此時△ABD的面積；
（3）若點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是該二次函數圖象上的兩點，且-1＜x₁＜0，1＜x₂＜2，試比較兩函數值的大小：y₁______y₂；
（4）若自變量x的取值范圍是0≤x≤5，則函數值y的取值范圍是______．

Answer 1

解：（1）設二次函數解析式為y=a（x-1）（x-3），
將C（0，3）坐標代入得：3=3a，即a=1，
則二次函數解析式為y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；

（2）把D（4，m）代入解析式得：16-16+3=m，即m=3，
則S_△ABD=×（3-1）×3=3；

（3）∵二次函數的對稱軸為直線x=2，
∴A與B都在對稱軸左邊，
∵-1＜x₁＜0，1＜x₂＜2，
∴x₁＜x₂，
∴y₁＞y₂；

（4）∵二次函數解析式為y=（x-2）²-1，
∴當x=2時，二次函數的最小值為-1，
又∵0≤x≤5，
∴x=0時，函數值為3；x=5時，函數值為8，
則此時函數值y的取值范圍是-1≤y≤8．
故答案為：（3）＞；（4）-1≤y≤8
分析：（1）由二次函數與x軸的兩交點A與B，設出二次函數的二根式方程，將C坐標代入求出a的值，即可確定出解析式；
（2）將D橫坐標代入解析式中求出m的值，由A與B的坐標求出AB的長，為三角形ABD的底，高為D縱坐標的絕對值，利用三角形面積公式求出即可；
（3）由二次函數的對稱軸為直線x=2，得到A與B在對稱軸的左邊，由拋物線開口向上，得到此時為減函數，由x₁＜x₂，即可得出y₁與y₂的大小關系；
（4）由拋物線開口向上有最小值，求出最小值，再將x=0與x=5分別代入求出對應的函數值，即可得出此時y的范圍．
點評：此題考查了待定系數法確定二次函數解析式，二次函數的圖象與性質，坐標與圖形性質，以及三角形的面積，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．