Question

如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=，AD=5，BC=3．以AD所在的直線為x軸，過點B且垂直于AD的直線為y軸建立平面直角坐標系．拋物線y=ax²+bx+c經過O、C、D三點．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）設（1）中的拋物線與BC交于點E，P是該拋物線對稱軸上的一個動點（如圖2）：
①若直線PC把四邊形AOEB的面積分成相等的兩部分，求直線PC的函數表達式；
②連接PB、PA，是否存在△PAB是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標，并直接寫出相應的△PAB的外接圓的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先過點C作CF⊥AD于F，根據題意可得Rt△AOB≌Rt△CFD，則可得C（3，3），D（4，0），則利用待定系數法即可求得此拋物線的解析式；
（2）①連接AE交OB于點G，因為E的縱坐標為3，代入即可求得其橫坐標的值，則可求得BE的長，則可證得四邊形AOEB是平行四邊形，當PC過點G時，PC把四邊形AOEB的面積平分，由點C與G的坐標，利用待定系數法即可求得直線PC的解析式；
②首先求得M與N的坐標，再分別從PB²=PM²+BM²=（y-3）²+4，PA²=PM²+AM²=y²+9，AB²=10這三方面去分析，注意不要漏解，
解答：解：（1）過點C作CF⊥AD于F，
由已知得：Rt△AOB≌Rt△CFD，OF=BC=3，
∴AO=DF=1，OD=OF+DF=4，
∴CF=，
∴C（3，3），D（4，0），
∴，
解得：a=-1，b=4，c=0，
∴所求的拋物線為y=-x²+4x；

（2）①連接AE交OB于點G，
把y=3代入y=-x²+4x，
得：-x²+4x=3，
解得：x₁=1，x₂=3，
∴E（1，3），
∴BE=1=OA，
∵BE∥OA，
∴四邊形AOEB是平行四邊形，
∴當PC過點G（G為AOEB兩條對角線的交點）時，PC把四邊形AOEB的面積平分，
∵OG=OB=，
∴G（0，），
∴C（3，3），
∴直線CG為：，
∴即直線PC為：；

②存在滿足條件的點P，
由（1）知拋物線的對稱軸為x=2，
設P（2，y），對稱軸交BC于點M，交x軸于點N，
則M（2，3），N（2，0），
∴PB²=PM²+BM²=（y-3）²+4，PA²=PM²+AM²=y²+9，AB²=10，
有三種可能，
若∠PBA=90°，則PA²=PB²+AB²，
∴y²+9=（y-3）²+4+10，
解得y=，
∴P（2，），
∴AP==，
此時△PAB外接圓的面積是：π×（×）²=π，
若∠PAB=90°，則PB²=PA²+AB²，
∴（y-3）²+4=y²+9+10，
解得：y=-1，
∴P（2，-1），
∴BP=2，
此時△PAB外接圓的面積是：5π，
若∠APB=90°，則PB²+PA²=AB²，
∴（y-3）²+4+y²+9=10，此方程無實數根，
∴此時滿足條件的點P不存在，
綜上所述，存在滿足條件的點P，
當點P（2，）時，△PAB外接圓的面積是π，
當點P（2，-1）時，△PAB外接圓的面積是5π．
點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，以及平行四邊形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，注意數形結合思想與分類討論思想的應用．