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如圖,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AE平分∠BAC,交BC于點E,點D在AB上,DE⊥AE,⊙O是Rt△ADE的外接圓,且交AC于點G.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若AC+GC=5,求直徑AD的值.

【答案】分析:(1)連接OE,由OA=OE,利用等邊對等角得到一對角相等,再由AE為角平分線得到一對角相等,等量代換得到一對內錯角相等,利用內錯角相等兩直線平行,得到AC與OE平行,再根據兩直線平行同位角相等及∠C為直角,得到OE與BC垂直,可得出BC為圓O的切線;
(2)過E作EF垂直于OD,連接EG,利用AAS得出△ACE≌△AFE,根據全等三角形對應邊相等得到AC=AF,CE=FE,再由圓內接四邊形的外角等于內對角得到一對角相等,再由一對直角相等及CE=FE,利用AAS得出△CEG≌△FED,可得出CG=FD,由AF+FD=AD,等量代換即可求出AD的長.
解答:解:(1)證明:連接OE,
∵OA=OE,
∴∠1=∠3,
∵AE平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∴OE∥AC,
∴∠OEB=∠C=90°,
則BC為圓O的切線;

(2)過E作EF⊥AB于點F,連接EG,
在△ACE和△AFE中,

∴△ACE≌△AFE(AAS),
∴AC=AF,CE=FE,
∵∠AED=90°,
∴AD是⊙O的直徑,又點D在⊙O上,
∴四邊形AGED是圓內接四邊形,
又∠CGE為圓內接四邊形AGED的外角,
∴∠CGE=∠EDA,
在△CEG和△FED中,

∴△CEG≌△FED(AAS),
∴CG=FD,又AC+CG=5,
則AD=AF+FD=AC+CG=5.
點評:此題考查了切線的判定,涉及的知識有:全等三角形的判定與性質,平行線的判定與性質,以及圓內接四邊形的性質,切線的判定方法有兩種:有點連接證垂直;無點作垂線,證明垂線段等于半徑.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2,則tanA的值為(  )
A、2
B、
1
2
C、
5
5
D、
2
5
5

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(2012•驛城區模擬)如圖,已知在Rt△ABC中,∠B=90°,D、E分別是邊AB、AC的中點,若DE=4,AC=10,則AB的值為(  )

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如圖,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,內切圓的半徑為3cm,外接圓的半徑為12.5cm,求△ABC的三邊長.

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如圖,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,點D在BC上,AD=BD,sin∠ADC=
45
,AC=4,求BC的長.

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如圖,已知在Rt△ABC中,∠C=90°.根據要求用尺規作圖:
(1)作斜邊AB的垂直平分線PQ,垂足為Q;
(2)作∠B的角平分線BM.

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