Question

已知：如圖，△ABC中，AC=BC，CD⊥AC交AB于點D，點O在BC上，⊙O經過B、D兩點，且與BC交于點E．
（1）試判斷CD與⊙O的位置關系，并加以證明；
（2）若AC=16，，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）CD為⊙O的切線
證明：連接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A，
∴∠ODB=∠A，
∴OD∥AC，
∴∠ODC=∠DCA，
∵CD⊥AC，
∴∠DCA=90°，
∴∠ODC=90°，
∴AC⊥OD，
∴CD是⊙O的切線；

（2）∵=，
∴設CE=x，CD=2x，
∵AC=16，
∴BE=BC-CE=16-x，
∵BE為⊙O的直徑，
∴OD=OE=8-x，
∴OC=8+x，
∵OC²-OD²=CD²，
∴（8+x）²-（8-x）²=4x²，
∴x=4，x=0，（舍去）
∴OD=6．
分析：（1）連接OD，由等腰三角形的性質得出∠ODB=∠A，由平行線的判定定理得出OD∥AC，再根據CD⊥AC，可得出AC⊥OD，進而可得出結論；
（2）由=，設CE=x，CD=2x，由AC=16可用x表示出BE及OD的值，再在△ODE中利用勾股定理即可求出x的值．
點評：本題考查的是切線的判定與性質、勾股定理、圓周角定理及等腰三角形的性質，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．