Question

【題目】如圖1，直線AB與x軸、y軸分別相交于點A、B，將線段AB繞點A順時針旋轉90°，得到AC，連接BC，將△ABC沿射線BA平移，當點C到達x軸時運動停止．設平移距離為m，平移后的圖形在x軸下方部分的面積為S，S關于m的函數圖象如圖2所示（其中0＜m≤a，a＜m≤b時，函數的解析式不同）．

（1）填空：△ABC的面積為 ；

（2）求直線AB的解析式；

（3）求S關于m的解析式，并寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線AB的解析式為y=﹣x+1；（3）S=．

【解析】（1）由圖2結合平移即可得出結論；

（2）判斷出△AOB≌△CEA，得出AE＝OB，CE＝OA，再由圖2知，點C的縱坐標是點B縱坐標的2倍，即可利用三角形ABC的面積求出OB，OA，即可得出結論；

（3）分兩種情況，利用三角形的面積公式或三角形的面積差即可得出結論．

（1）結合△ABC的移動和圖2知，點B移動到點A處，就是圖2中，m=a時，S=S△A'B'D=，點C移動到x軸上時，即：m=b時，S=S△A'B'C'=S△ABC=．

故答案為：；

（2）如圖2，過點C作CE⊥x軸于E，

∴∠AEC=∠BOA=90°．

∵∠BAC=90°，

∴∠OAB+∠CAE=90°，

∵∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠OBA=∠CAE，

由旋轉知，AB=AC，

∴△AOB≌△CEA，

∴AE=OB，CE=OA，

由圖2知，點C的縱坐標是點B縱坐標的2倍，

∴OA=2OB，

∴AB2=5OB2，

由（1）知，S△ABC==AB2=×5OB2，

∴OB=1，

∴OA=2，

∴A（2，0），B（0，1），

∴直線AB的解析式為y=﹣x+1；

（3）由（2）知，AB2=5，

∴AB=，

①當0≤m≤時，如圖3，

∵∠AOB=∠AA'F，∠OAB=∠A'AF，

∴△AOB∽△AA'F，

∴，

由運動知，AA'=m，∴，

∴A'F=m，

∴S=AA'×A'F=m2，

②當＜m≤2時，如圖4，

同①的方法得：A'F=m，

∴C'F=﹣m，

過點C作CE⊥x軸于E，過點B作BM⊥CE于E，

∴BM=3，CM=1，

易知，△ACE∽△FC'H，

∴，

∴，

∴C'H=．

在Rt△FHC'中，FH=C'H=，

由平移知，∠C'GF=∠CBM，

∵∠BMC=∠GHC'，

∴△BMC∽△GHC'，

∴，

∴，

∴GH=，

∴GF=GH﹣FH=，

∴S=S△A'B'C'﹣S△C'FG=﹣××=﹣（2﹣m）2，

即：S=．