Question

如圖，沿OA將圓錐側面剪開，展開成平面圖形后是扇形OAB．
（1）扇形的弧AB的長與圓錐底面圓周的長是怎樣的關系？點A與點B在圓錐的側面上是怎樣的位置關系？
（2）若角∠AOB=90°，則圓錐底面圓半徑r與扇形OAB的半徑R（即OA或OB）之間有怎樣的關系？
（3）若點A在圓錐側面上運動一圈后又回到原位，則點A運動的最短路程應該怎樣設計？若r²=0.5，∠AOB=90°，求點A運動的最短路程．

Answer 1

分析：（1）根據扇形和圓錐的關系判斷弧長與底面周長的關系及點A與點B的關系即可；
（2）利用圓弧的長等于底面周長得到兩個半徑之間的關系即可；
（3）圓錐的側面展開圖是扇形，找到展開平面的兩點之間的線段即可．

解答：解：（1）扇形的弧長等于其圍成的圓錐的底面周長，點A與點B在圓錐的側面上重合；

（2）∵圓錐的弧長等于底面的周長，
∴2πr=

90πR

180

即：R=4r；

（3）連接AB，則AB即為最短距離；
∵r²=0.5
∴r=

1 2

=

2

2

∵∠AOB=90°，
∴

90πr2

360

=πrR
解得：R=2

2

∵OA²+OB²=2R²=AB²，
∴AB=4
最短路程長為4．

點評：本題考查了圓錐的計算及最短路徑問題，解題的關鍵是弄清圓錐的有關量與扇形的有關量的對應關系．