Question

【題目】如圖1，點P,Q分別是等邊△ABC邊AB,BC上的動點（端點除外），點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發，且它們的運動速度相同，連接AQ，CP交于點M.

（1）求證：△ABQ△CAP;

（2）如圖1，當點P,Q分別在AB,BC邊上運動時，∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數.

（3）如圖2，若點P,Q在分別運動到點B和點C后，繼續在射線AB,BC上運動，直線AQ,CP交點為M,則∠QMC= 度.（直接填寫度數）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）點P、Q在AB、BC邊上運動的過程中，∠QMC不變，∠QMC=60°，理由見解析；（3）120.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質，利用SAS證明△ABQ≌△CAP即可；

（2）由（1）可知△ABQ≌△CAP，所以∠BAQ=∠ACP，再根據三角形外角性質可求出∠QMC；

（3）先證△ABQ≌△CAP，根據全等三角形的性質可得∠BAQ=∠ACP，再根據三角形外角性質可求出∠QMC；

（1）證明：如圖1，∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABQ=∠CAP=60，AB=CA，

又∵點P、Q運動速度相同，

∴AP=BQ，

在△ABQ與△CAP中，

∴△ABQ≌△CAP(SAS)；

(2)點P、Q在AB、BC邊上運動的過程中，∠QMC不變，∠QMC=60°.

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠QMC是△ACM的外角，

∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC

∵∠BAC=60°，

∴∠QMC=60°；

(3) 如圖2，∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABQ=∠CAP=60，AB=CA，

又∵點P、Q運動速度相同，

∴AP=BQ，

在△ABQ與△CAP中，

∴△ABQ≌△CAP(SAS)；

∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠QMC是△APM的外角，

∴∠QMC=∠BAQ+∠APM，

∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°∠PAC=180°60°=120°，

故答案為：120.