Question

若關于x的方程ax+2=0與|x-1|-|x-2|+2=0有三個相異的實數根，則常數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設y₁=ax+2，y₂=|x-1|-|x-2|+2，再根據直線y₁=ax+2過點A（0，2），分析滿足題意的兩種極端情況，然后即使直線y₁=ax+2與函數y₂=|x-1|-|x-2|+2的圖象交于三個不同的點，即可．

解答：解：設y₁=ax+2，y₂=|x-1|-|x-2|+2
∵y2=

1(x＜1) 2x-1(1≤x＜2) 3(x≥2)

∴它的圖象是右圖中的折線
∵直線y₁=ax+2過點A（0，2），
∴分析得出滿足題意的兩種極端情況如下：
當直線過圖中點B（2，3）時，2a+2=3得a=

1

2

；
當直線平行于x軸時，由y=2可知a=0．
要使方程ax+2=0與|x-1|-|x-2|+2=0有三個相異的實數根．
即使直線y₁=ax+2與函數y₂=|x-1|-|x-2|+2的圖象交于三個不同的點，
則0＜a＜

1

2

．
故答案為：0＜a＜

1

2

．

點評：此題主要考查一次函數的綜合知識，難易程度適中，適合學生的訓練，是一道很典型的題目．