Question

在長株潭建設兩型社會的過程中，為推進節能減排，發展低碳經濟，我市某公司以25萬元購得某項節能產品的生產技術后，再投入100萬元購買生產設備，進行該產品的生產加工。已知生產這種產品的成本價為每件20元。經過市場調研發現，該產品的銷售單價定在25元到30元之間較為合理，并且該產品的年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式為：

（年獲利=年銷售收入-生產成本-投資成本）

（1）       當銷售單價定為28元時，該產品的年銷售量為多少萬件？

（2）       求該公司第一年的年獲利W（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式，并說明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤是多少？若虧損，最小虧損是多少？

（3）       第二年，該公司決定給希望工程捐款Z萬元，該項捐款由兩部分組成：一部分為10萬元的固定捐款；另一部分則為每銷售一件產品，就抽出一元錢作為捐款。若除去第一年的最大獲利（或最小虧損）以及第二年的捐款后，到第二年年底，兩年的總盈利不低于67.5萬元，請你確定此時銷售單價的范圍;

Answer 1

(1) 12

1°當 時，W=(40-x)(x-20)-25-100=-x²+60x-925=-（x-30）²-25

　 故當x=30時，W最大為-25，及公司最少虧損25萬；

2°當30﹤x≤35時，W=(25-0.5x)(x-20)-25-100=-x²+35x-625=-（x-35）²-12.5

　 故當x=35時，W最大為-12.5，及公司最少虧損12.5萬；

對比1°，2°得，投資的第一年，公司虧損，最少虧損是12.5萬；

（3）

1°當 時，W=(40-x)(x-20-1)-12.5-10=-x²+59x-782.5

　　　 令W=67.5，則-x²+59x-782.5=67.5　 化簡得：x²-59x+850=0 x₁=25;x₂=34,

　　 此時，當兩年的總盈利不低于67.5萬元，；

2°當30﹤x≤35時，W=(25-0.5x)(x-20-1)-12.5-10=-x²+35.5x-547.5

　　 令W=67.5，則-x²+35.5x-547.5=67.5　 化簡得：x²-71x+1230=0 x₁=30;x₂=41,

　　 此時，當兩年的總盈利不低于67.5萬元，30﹤x≤35；