Question

（2012•長沙）在長株潭建設兩型社會的過程中，為推進節能減排，發展低碳經濟，我市某公司以25萬元購得某項節能產品的生產技術后，再投入100萬元購買生產設備，進行該產品的生產加工．已知生產這種產品的成本價為每件20元．經過市場調研發現，該產品的銷售單價定在25元到35元之間較為合理，并且該產品的年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式為：y=

40-x(25≤x≤30) 25-0.5x(30＜x≤35)

（年獲利=年銷售收入-生產成本-投資成本）
（1）當銷售單價定為28元時，該產品的年銷售量為多少萬件？
（2）求該公司第一年的年獲利W（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式，并說明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤是多少？若虧損，最小虧損是多少？
（3）第二年，該公司決定給希望工程捐款Z萬元，該項捐款由兩部分組成：一部分為10萬元的固定捐款；另一部分則為每銷售一件產品，就抽出一元錢作為捐款．若除去第一年的最大獲利（或最小虧損）以及第二年的捐款后，到第二年年底，兩年的總盈利不低于67.5萬元，請你確定此時銷售單價的范圍．

Answer 1

分析：（1）因為25＜28＜30，所以把x=28代入y=40-x即可求出該產品的年銷售量為多少萬件；
（2）由（1）中y于x的函數關系式和根據年獲利=年銷售收入-生產成本-投資成本，得到w和x的二次函數關系，再有x的取值范圍不同分別討論即可知道該公司是盈利還是虧損，若盈利，最大利潤是多少？若虧損，最小虧損是多少？
（3）由題目的條件得到w和x在自變量x的不同取值范圍的函數關系式，再分別當w≥67.5，求出對應x的范圍，結合y于x的關系中的x取值范圍即可確定此時銷售單價的范圍．

解答：解：（1）∵25＜28＜30，
y=

40-x(25≤x≤30) 25-0.5x(30＜x≤35)

，
∴把x=28代入y=40-x得，
∴y=12（萬件），
答：當銷售單價定為28元時，該產品的年銷售量為12萬件；

（2）①當 25≤x≤30時，W=（40-x）（x-20）-25-100=-x²+60x-925=-（x-30）²-25，
故當x=30時，W最大為-25，即公司最少虧損25萬；
②當30＜x≤35時，W=（25-0.5x）（x-20）-25-100
=-

1

2

x²+35x-625=-

1

2

（x-35）²-12.5
故當x=35時，W最大為-12.5，即公司最少虧損12.5萬；
對比①，②得，投資的第一年，公司虧損，最少虧損是12.5萬；
答：投資的第一年，公司虧損，最少虧損是12.5萬；

（3）①當 25≤x≤30時，W=（40-x）（x-20-1）-12.5-10=-x²+61x-862.5≥67.5，
-x²+61x-862.5≥67.5，
化簡得：x²-61x+930≤0 
解得：30≤x≤31，
當兩年的總盈利不低于67.5萬元時，x=30；
②當30＜x≤35時，W=（25-0.5x）（x-20-1）-12.5-10=-

1

2

x²+35.5x-547.5≥67.5，
化簡得：x²-71x+1230≤0 
解得：30≤x≤41，
當兩年的總盈利不低于67.5萬元時，30≤x≤35，
答：到第二年年底，兩年的總盈利不低于67.5萬元，此時銷售單價的范圍是30≤x≤35．

點評：本題主要考查二次函數在實際中應用，最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答，我們首先要弄懂題意，確定變量，建立函數模型解答，其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值．