Question

3．如圖．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，0），B（0，-4），C是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過C作CD∥AB交y軸于點(diǎn)D．
（1）$\frac{OC}{OD}$值是$\frac{3}{4}$．
（2）若以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于54，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（3）將△AOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AO′B′，設(shè)D的坐標(biāo)為（0，n），當(dāng)點(diǎn)D落在△AO′B′內(nèi)部（包括邊界）時(shí)，求n的取值范圍．（直接寫出答案即可）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△AOB∽△COD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可求解；
（2）分成A在x軸負(fù)半軸上和A在x軸的正半軸上兩種情況進(jìn)行討論，利用四邊形的面積公式以及列方程求解；
（3）求得O′B′與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及直線AB′與y軸的交點(diǎn)，即可求解．

解答 解：（1）∵A的坐標(biāo)是（3，0），B的坐標(biāo)是（0，-4），
∴OA=3，OB=4．
∵CD∥AB，
∴△AOB∽△COD，
∴$\frac{OC}{OD}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{3}{4}$；
（2）設(shè)OC=3x，則OD=4x，
則AC=3+3x，BD=4+4x，
當(dāng)A在x軸負(fù)半軸上時(shí)：
∵四邊形ABCD的面積是54，
∴$\frac{1}{2}$AC•BD=54，即$\frac{1}{2}$（3+3x）（4+4x）=54，
解得：x=2或-4（舍去）．
則C的坐標(biāo)是（-6，0）；
當(dāng)A在x軸的正半軸上時(shí)，S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$×3a•4a-$\frac{1}{2}$×3×4=54，
解得：a=$\sqrt{10}$或-$\sqrt{10}$（舍去）．
則C的坐標(biāo)是（3$\sqrt{10}$，0）．
（3）O′的坐標(biāo)是（3，3），
則O′B′與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3）；
則B′的坐標(biāo)是（-1，3）．
設(shè)AB′的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{-k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
則函數(shù)的解析式是y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$，
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{9}{4}$．即直線AB′與y軸的交點(diǎn)是（0，$\frac{9}{4}$）．
則n的范圍是$\frac{9}{4}$≤n≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確確定點(diǎn)D落在△AO′B′內(nèi)部（包括邊界）時(shí)所在的范圍是關(guān)鍵．