Question

如圖，AC是圓O的直徑，AC=10厘米，PA，PB是圓O的切線，A，B為切點，過A作AD⊥BP，交BP于

D點，連接AB，BC．
（1）求證：△ABC∽△ADB；
（2）若切線AP的長為12厘米，求弦AB的長．

Answer 1

（1）證明：∵AC是圓O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∵AD⊥BP，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABC=∠ADB，
∵PA是圓O的切線，
∴∠PAB=∠ACB，
又∵PA=PB，
∴∠PAB=∠ABD，
∴∠ABD=∠ACB，
[也可以為：∵PA，PB是圓O的切線，
∴∠ABD=∠ACB（弦切角定理）]
在△ABC和△ADB中：
∵∠ABC=∠ADB，∠ABD=∠ACB，
∴△ABC∽△ADB；

（2）連接OP，OB，
∵PA是⊙O的切線，AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=∠OAP，
在Rt△AOP中，AP=12厘米，OA=5厘米
∴OP=13厘米
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴

AE

=

BE

，



∴∠AOE=

1

2

∠AOB=∠ACB，
在△ABC與△PAO中，
∵∠AOE=∠ACB，∠ABC=∠OAP，
∴△ABC∽△PAO，
∴

AB

AC

=

AP

OP

，
∴

AB

10

=

12

13

，
∴AB=

120

13

厘米．